一类不等式的简证

面对庞杂的知识体系和大量的模拟试题，如何针对高考竞赛展开高效的针对性复习？通过对近几年高考和竞赛试题的研究，笔者有一个很有趣的发现——试题各异，出题角度多变，但探源溯流，它们来源于同一个问题．我们可以把这类不断衍生的题目称为“题根”．那么如何寻找“题根”呢？将源于课本的题目进行提炼与升华形成结论，然后再将其广泛应用于解题实践中，这便是寻觅“题根”的不二法门了.这一过程意义非凡，因为茫茫题海中很多题目表面不同，但实质一样(可归结于同一个“题根”)．一个“题根”加工而成的结论，其功效不亚于教材中的一个定理.笔者从一个重要的不等式出发，探源溯流得到竞赛题、高考题命题的题根，并给出一种高效学习数学的方法，敬请同行指正.[1]

结论已知x,y,a,b∈R+,则当且仅当时等号成立.

证法1：因为所以当且仅当即时等号成立.

证法2：构造向量则得当且仅当时等号成立.即所以当且仅当即时等号成立.

推广1 已知x,y∈R,a,b∈R+,则当且仅当时等号成立.

证明：由结论得当且仅当成立.

推广2 已知x,y,z,a,b,c∈R+,则当且仅当时等号成立.

证明：由结论得当且仅当且即等号成立.

下面以近期竞赛试题和数学通讯问题征解为例谈谈此不等式的应用，追本溯源，以期抛砖引玉，凸显回归题根的重要性.

例1 (2018年哈萨克斯坦国际数学奥林匹克试题第1题)[2]设α,β,γ分别是三角形三边长为a,b,c的对角.证明：

分析1：解决三角形中的问题，通常是采用“减元”的策略，即将“边元”和“角元”做一转化.考虑到待证的不等式是分式结构，可以利用本文结论和正弦定理便有如下简洁明快的证法.

证明1：根据正弦定理，右边等价于

由本文引理推广得

同理三式相加获证.

分析2：由题设结构联想到射影定理：在ΔABC中，有a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA成立.由本文结论推广便有如下别具一格的证明.

证明2：根据射影定理和本文引理推广得同理可得三式相加获证.

由本文引理推广不难得到

点评：上述证明过程中巧妙的用到了射影定理和本文引理的推广，由证明过程不难得到下面推广：

ΔABC中，设α,β,γ分别是三角形三边长为a,b,c的对角，则

例2 (数学通讯问题征解之问题331)设x,y,z是正实数,且xyz=1,求的最小值.[5]

分析：本题几个作者提供标准解答是先利用比较法证明2(a4+b4)≥(a+b)(a3+b3)2.然后利用基本不等式获解，解法显得很突兀，非常不自然且不易推广.但倘若利用本文的结论便有如下简洁明快的解答.

简解：由本文结论得，故而故又故所以故

按上述证明不难作如下推广：

推广设a1,a2,…,an∈R+,且a1a2…an=1,m,n∈N*,n≥2，则

例3 (数学通讯问题征解之问题332)设正数x,y,z满足xy+yz+zx≤3,求证：

分析：本题几个作者提供标准解答是先利用比较法和柯西不等式证明解法显得很突兀，非常不自然且不易推广.但倘若利用本文的结论便有如下别具一格的解答.

简证：由本文结论得，故所以

故

按上述证明不难作如下推广：

推广1 设a1,a2,…,an∈R+且a1a2+a2a3+…+ana1≤n,求证：

推广2 设a1,a2,…,an∈R+且a1a2+a2a3+…+ana1≤k,其中k为正常数.求证：

例4 (数学通讯问题征解之问题340)已知正数a,b,c满足abc=1,求证：

简证：由本文结论得，故所以故当且仅当即a=b=c=1取等.

按上述证明不难作如下推广：

推广设a1,a2,…,an∈R+且a1·a2·a3·…·an=1,求证：

例5 (中等数学奥林匹克问题之高569)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,求证：

简证：由本文结论得，由本文结论得同样由本文结论得

故a2+b2+c2≥ab+bc+ca,而

所以故当且仅当即取等.

推广设a1,a2,…,an∈R+，且a1+a2+…+an=1，证明：

例6 (数学通讯问题征解之问题335)已知a,b,c为正实数，证明：

分析：本题标准解答利用柯西不等式获解，但倘若利用本文的结论便有如下别具一格的解答.

简证：要证原不等式，即证不妨设a≥b≥c>0,则由本文的结论得，

于是只需证即证4(a-c)2≥6(a2+b2+c2)-2(a+b+c)2，即证(a-b)(b-c)≥0，因为a≥b≥c>0，所以上述不等式成立.综上，原不等式成立，当且仅当a=b=c时等号成立.

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