在椭圆学习中常见的几个解题误区

椭圆是圆锥曲线中的重要内容之一,也是高考的必考内容。椭圆涉及的内容多,题目灵活,解题时会遇到一些似是而非的问题。此类问题往往是由于我们对某些概念或公式理解上的模糊认识,从而造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断,使我们的解题思维走入一个个误区。

误区一：缺乏对第一定义的深刻理解,应用定义时考虑不深刻,不全面

例1动点 P 到两定点F1(-4,0)、F2(4,0)的距离之和为8,则动点 P 的轨迹为( )。

A.椭圆 B.圆

C.一条线段 D.无轨迹

错解：选A。

剖析：上述解答忽视椭圆第一定义中的条件2a ＞|F1F2|而导致错误。因为 8等于焦距,所以点P 的轨迹是一条线段。

正解：选C。

点评：当2a＞2c＞0时,轨迹为椭圆；当2a=2c 时,轨迹为线段F1F2；当2a＜2c 时,则轨迹不存在。

误区二：在确定含有参数的方程所表示的椭圆类型时,考虑问题不全面

例2椭圆2x2+my2=2m 的焦距为6,求m 的值。

错解：标准方程为,故c=

剖析：因为由题设不能确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上,所以双曲线的焦点有可能在y 轴上,解出m 的值可能有两个。

正解：(1)当焦点在x 轴上时,即m＞2＞0,可得,则m=11。

(2)当焦点在轴y 上时,即2＞m ＞0,可得,不符合题意。故m=11。

误区三：在解析几何中,忽视了Δ＞0这一前提条件

例3给定椭圆方程,经过点B(2,2),能否作直线m,使m 与所给椭圆交于两点Q1和Q2,且B 是Q1、Q2的中点?这样的直线m 如果存在,求出它的方程；如果不存在,请说明理由。

错解：假设直线m 存在,则直线m 不垂直于x 轴,可设直线m 的方程为y-2=k(x-2)。

设Q1和Q2的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)。则,两式相减得：3×(x1+ x2)(x1-x2)+4(y1+y2)·(y1-y2)=0。

因为Q1Q2的中点B 的坐标为(2,2),所以。直线m 的方程为

剖析：由消去y得： 21x2-84x+148=0。Δ=-5 376＜0,求不出Q1、Q2,不存在满足条件的直线。

正解：假设直线m 存在,则直线m 不垂直于x 轴,可设直线m 的方程为：y-1=k(x-1)。

设Q1和Q2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。由消去y 得：

(4k2+3)x2+16k(1-k)x+ 16k2-32k+4=0。①

方程①有两解的前提条件是Δ=29k-4故不存在这样的直线。

点评：“代入相减法”需要掌握,但应先判断曲线与直线是否相交,即当题目出现“直线与圆锥曲线交于不同两点”这一条件时,一定要优先考虑Δ＞0。

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